Funzione Sinusoidale
Il suono è rappresentabile da una funzione spazio-temporale.
La componente che è alla base di ogni suono complesso è l’onda sinusoidale (teorema di Fourier), il cui andamento è descritto dalla funzione sinusoidale :
y = sinx
nel grafico sono rappresentati le componenti seno e coseno in funzione dei radianti, è pertanto necessario omogeneizzare passando in funzione del tempo t:
poichè x = (2π / T ) * t , e T = 1 / f ( dove T è il periodo )
allora: x = 2π * f * t (dove f è la frequenza)
quindi
y = sen ( 2π * f * t )
a questa si può sostituire 2π * f = ω , ottenendo:
y = sen ( ω * t )
che rappresenta l’andamento della componente seno nel tempo.
La componente coseno nel tempo sarà:
y = cos( ω * t )
Il seno e il coseno sono le componenti dell’ onda sinusoidale , che pertanto è rappresentata da:
y = A*sen ( ω * t ) + B*cos( ω * t )
dove A e B sono fattori scala che definiscono rispettivamente l’ampiezza della componente seno e coseno.
Teorema di Fourier
Un segnale complesso è il risultato di una somma algebrica di segnali puri ( sinusoidi )
Da questo di deduce che dato un segnale complesso esso può essere scomposto in segnali sinusoidali (processo di analisi ) , e viceversa dati n sinusoidi è possibile sommarle per ottenere un segnale complesso (processo di sintesi)
Esistono due tipi di segnali complessi:
- segnali periodici : segnale s(t) in cui esiste una quantità T (periodo) , tale che sia sempre soddisfatta:
s(t) = s( t + T )
la condizione di periodicità deve essere soddisfatta in ogni punto del periodo.
Lo studio dei segnali periodici si fa attraverso la serie di Fourier ( e dalla Trasformata di Fourier)
- segnali aperiodici : segnali che non hanno un periodo. Questi vengono studiati attraverso la Trasformata di Fourier
Serie di Fourier
Consente di rappresentare qualsiasi segnale periodico come una somma di segnali puri.
Matematicamente è una funzione basata sulla somma delle componenti seno e coseno delle n componenti:
dove:
a0 è l’ offset frequenziale (o componente continua) che indica il valore medio del segnale e vale:
an e bn sono le ampiezze delle componenti seno e coseno di ogni n-sima sinusoide , e valgono:
Il segnale complesso è quindi formato da n componenti sinusoidali , le cui frequenze sono multiple della frequenza fondamentale f :
Esempi di segnali periodici complessi
Onda Quadra
E’ formata da sole componenti che sono multipli dispari della frequenza fondamentale, le cui ampiezze decrescono secondo 1/n
In fugura è rappresentata un’ onda quadra formata dalle prime 3 componenti ( 1 , 3, 5), va sottolineato che per ottenere un’ onda quadra perfetta sarebbero necessarie infinite componenti.
Onda Triangolare
come l’onda quadra è formata da sole componenti dispari , ma le rispettive ampiezze decrescono secondo 1/n^2
Onda a Dente di Sega
è formata da componenti pari e dispari le cui ampiezze decrescono secondo 1/n
Trasformata di Fourier
Con la trasformata di Fourier è possibile studiare segnali con uno spettro continuo. Per l’introduzione di questo tipo di segnali è utile definire la:
Funzione Impulsiva
è una funzione del tipo
g(ω)/τ = sin x/ x
in cui le componenti si annullano ai multipli di 1/τ ( duty cycle / rapporto di utilizzazione)
L’ onda quadra può essere quindi definita come una funzione impulsiva con un duty cycle di ½ , infatti ha tutte le componenti multiple di 2 ( pari) nulle
Andando a diminuire il duty cycle la funzione g(ω)/τ = sin x/ x diventa sempre più estesa , e il suono sempre più ricco di componenti. Quando il
duty cycle → 0
il perioto T →∞
pertanto la funzione sarà aperiodica , e più precisamente si avrà un impulso in cui tutte le componenti frequenziali avranno ugual intensità ( equivalente del rumore bianco).
L’ impulso è un segnale continuo e non si può rappresentare in termini di componenti discrete ( serie di Fourier), è pertanto necessaria la Trasformata di Fourier che ,poichè deve calcolare un’ area ( definita dalla funzione) , trasforma le sommatorie in integrali.
La FT (Fourier Transform) descrive la distribuzione frequenziale del segnale s(T) , ed è così definita:
è un processo invertibile e la sua inversa è chiamata Trasformata Inversa:
Grazie alla TF è quindi possibile passare dal dominio del tempo al dominio frequenziale , e viceversa. Permette dunque l’ analisi , la visualizzazione , l’elaborazione e la trasformazione di segnali complessi .
Con la FT però queste operazioni sono possibili solo in tempo differito , perchè è un processo complesso che richiede molta elaborazione computazionale.
Un forma semplificata e meno precisa della FT è l’ FFT ( Fast Fourier Transform) che rende possibili tutte queste operazioni in real time .